【题目】

由数字1,1,2,4,8,8所组成的不同的4位数的个数是（ ）。

A. 104
B. 102
C. 98
D. 100

【考点】

排列组合。与顺序有关的用排列，与顺序无关的用组合

排列的定义: 从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

组合的定义: 从n个不同元素中，任取m个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$；$C(n,m)=C(n,(n-m))$，其中 $n\ge m$。

参考：https://code.weblog.org/c61c7b5ad8496c8b

【解析（1）】

若有且只有2个数一样：

若1、1、8、8组合有A(4,4)/(A(2,2)*2)=6种；

4个不同数的情况：

1、2、4、8组成的4位数的个数：$A_4^4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24$

有且只有2个数同样的情况：

共有1124；1128；1148；1288；1488；2488六类，共6*A(4,4)/A(2,2)=72种。

2个不同数的情况：

由1、1、8、8组成的4位数的个数：$C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4times3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (2\times 1)}=6$

合起来：

$6+12\times 6+24=102$

答案选择：B

【解析（2）】

2个不同数的情况：

由1、1、8、8组成的4位数的个数：$C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4times3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (2\times 1)}=6$

3个不同数的情况：

由1、1、2、4组成的4位数的个数：$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$
由1、1、2、8组成的4位数的个数：$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$
由1、1、4、8组成的4位数的个数：$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$
由1、2、8、8组成的4位数的个数：$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$
由1、4、8、8组成的4位数的个数：$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$
由2、4、8、8组成的4位数的个数：$A_4^2=\frac{4!}{(4-2)!}=\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$

4个不同数的情况：

1、2、4、8组成的4位数的个数：$A_4^4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24$

合起来：

$6+12\times 6+24=102$

答案选择：B

【解析（3）】

2个不同数的情况：

由1、1、8、8组成的4位数的个数：

$C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (2\times 1)}=6$

3个不同数的情况：

选三个不同的数：x、x、y、z

x：只能是1或8，有2个不同的数，从中选择1个数

$C_2^1=\frac{2!}{1!(2-1)!}=\frac{2\times 1}{1\times 1}=2$

y、z：剩余4个数中有3个不同的数，从中选择2个

$C_3^2=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times 1}=3$

这样一共有6种选择数的方案。

先在4个位置里挑选2个放x：

$C_4^2=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4times3\times 2\times 1}{(2\times 1)\times (2\times 1)}=6$

再在剩下两个位置里放x、y的全排列：

$A_2^2=\frac{2!}{(2-2)!}=\frac{2\times 1}{1}=2$

所以总共：

$2\times 3\times 6\times 2=72$

4个不同数的情况：

由1、2、4、8组成的4位数的个数：

$A_4^4=\frac{4!}{(4-4)!}=\frac{4!}{0!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24$

合起来：

$6+72+24=102$

答案选择：B

【解析（4）】

6个数取4个的排列数是360，但1和8是重复的，组合后的4位数就有相同的，扣除相同的后不同的4位数个数是102个。

【解析（5）】

1 开头和 8 开头的方案数相等
2 开头和 4 开头的方案数相同

枚举出 1 开头的方案数，分别为 33
枚举出 2 开头的方案数，分别为 18

加起来乘二等于 102