【题目】

\(
\begin{cases}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4 & \text{(1)} \\
x^2-y^2=9 & \text{(2)}
\end{cases}
\)

【解析】

参考：https://www.docin.com/p-43425863.html

由 (1) ，它是一个无理方程，可以尝试换元法，设：

\(
\begin{cases}
\sqrt{x+y}=a\gt 0 \\
\sqrt{x-y}=b\gt 0
\end{cases}
\)

得到：

\(
\begin{cases}
x+y=a^2 \\
x-y=b^2 \\
\end{cases}
\)

代入原方程组，得到：

\(
\begin{cases}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=a+b=4 \\
x^2-y^2=(x+y)\cdot(x-y)=a^2 b^2=9
\end{cases}
\)

即（a、b均大于0）：

\(
\begin{cases}
a+b=4 & \text{(3)} \\
ab=3 & \text{(4)}
\end{cases}
\)

解新的方程组：

由(4)得 \(b=\frac{3}{a}\) ，代入(3) ：

\(
\begin{split}
a+\frac{3}{a}&=4 \\
a^2-4a+3&=0 \\
(a-1)(a-3)&=0
\end{split}
\)

\(\therefore\) \(a=1\) 或 \(a=3\)

\(\therefore\) \(
\begin{cases}
a_1=1 \\
b_1=3
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
a_2=3 \\
b_2=1
\end{cases}
\)

亦即：\(
\begin{cases}
\sqrt{x+y}=1 \\
\sqrt{x-y}=3
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
\sqrt{x+y}=3 \\
\sqrt{x-y}=1
\end{cases}
\)

\(\therefore\) \(
\begin{cases}
x+y=1 \\
x-y=9
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
x+y=9 \\
x-y=1
\end{cases}
\)

\(\therefore\) \(
\begin{cases}
x=5 \\
y=-4
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
x=5 \\
y=4
\end{cases}
\)

经检验： \(
\begin{cases}
x_1=5 \\
y_1=-4
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
x_2=5 \\
y_2=4
\end{cases}
\) 都是原方程组的解。