【题目】

\(
\begin{cases}
x+y=a & \text{(1)} \\
x^2+y^2=b & \text{(2)}
\end{cases}
\)

【解析】

由 (1) 得到：

\(
\begin{cases}
x=a-y & \text{(3)}
\end{cases}
\)

代 (3) 入 (2)，得到仅有未知数 y 的等式：

\(
\begin{split}
(a-y)^2+y^2&=b \\
a^2-2ay+y^2+y^2&=b \\
2y^2-2ay+(a^2-b)&=0 \\
y^2-ay+\frac{(a^2-b)}{2}&=0 \\
y^2-2\cdot\frac{a}{2}\cdot y+{(\frac{a}{2})}^2&=-\frac{(a^2-b)}{2}+{(\frac{a}{2})}^2 \\
{(y-\frac{a}{2})}^2&=\frac{2b-a^2}{4} \\
\end{split}
\)

当 \(\frac{2b-a^2}{4}\geqslant0\) 时：

\(
\begin{split}
y-\frac{a}{2}&=\pm\sqrt{\frac{2b-a^2}{4}} \\
y&=\frac{a}{2}\pm\frac{\sqrt{2b-a^2}}{2} \\
y&=\frac{a\pm\sqrt{2b-a^2}}{2} \\
\end{split}
\)

得到：

\(
\begin{cases}
y_1=\frac{a+\sqrt{2b-a^2}}{2} \\
y_2=\frac{a-\sqrt{2b-a^2}}{2}
\end{cases}
\)

代 y 值入 (3)：

\(
\begin{cases}
x_1=\frac{a-\sqrt{2b-a^2}}{2} \\
x_2=\frac{a+\sqrt{2b-a^2}}{2}
\end{cases}
\)