【题目】

某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。密码是 $n$ 个数 $s_1,s_2,\dots ,s_n$，均为 0 或 1。该系统每次随机生成 $n$ 个数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，均为 0 或 1，请用户回答 $(s_1{a}_1+s_2{a}_2+\dots +s_n{a}_n)$ 除以 2 的余数。如果多次的回答总是正确，即认为掌握密码。该系统认为，即使问答的过程被泄露，也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。

然而，事与愿违。例如，当 $n=4$ 时，有人窃听了以下 5 次问答：

就破解出了密码 $s_1$ = ( )，$s_2$ = ( )，$s_3$ = ( )，$s_4$ = ( )。

【解析】

分析发现：第 5 次问答的数据中仅 $a_1$ 为 1，其他 3 个均为 0 ；可以据此为突破口，得到 $s_1$ 。

用第 5 次问答的数据代入可以推出：

$(s_1{a}_1+s_2{a}_2+\dots +s_n{a}_n)\mathrm{\%}2$
$(s_1\ast 1+0+0+0)\mathrm{\%}2==0$
$s_1\ast 1==0$
$s_1==0$

分析发现：第 1 次问答的数据中仅 $a_1$ $a_2$ 为 1，其他 2 个均为 0 ；上一步得到 $s_1$ 为 0 ，可以进一步得到 $s_2$ 。

把 $s_1==0$ 代入第 1 次问答的数据可得：

$(s_1{a}_1+s_2{a}_2+\dots +s_n{a}_n)\mathrm{\%}2$
$(0\ast 1+s_2\ast 1+0+0)\mathrm{\%}2==1$
$s_2\ast 1==1$
$s_2==1$

分析发现：第 3 次问答的数据中仅 $a_2$ $a_3$ 为 1，其他 2 个均为 0 ；上一步得到 $s_2$ 为 1 ，可以进一步得到 $s_3$ 。

把 $s_2==1$ 代入第 3 次问答的数据可得：

$(s_1{a}_1+s_2{a}_2+\dots +s_n{a}_n)\mathrm{\%}2$
$(0+1\ast 1+s_3\ast 1+0)\mathrm{\%}2==0$
$s_3\ast 1==1$
$s_3==1$

分析发现：第 2 次问答的数据中仅 $a_3$ $a_4$ 为 1，其他 2 个均为 0 ；上一步得到 $s_3$ 为 1 ，可以进一步得到 $s_4$ 。

把 $s_3==1$ 代入第 2 次问答的数据可得：

$(s_1{a}_1+s_2{a}_2+\dots +s_n{a}_n)\mathrm{\%}2$
$(0+0+1\ast 1+s_4\ast 1)\mathrm{\%}2==0$
$1+s_4\ast 1==0$
$s_4\ast 1==1$
$s_4==1$

得到 $s_4$ 为 1 。

参考：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/cd2ff46083b34d9f9cdb62cfc2cb78a3