【题目】

\(
\begin{cases}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18} & \text{(1)} \\
\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{13}{6} & \text{(2)}
\end{cases}
\)

【解析】

参考：https://www.docin.com/p-43425863.html

观察此方程组，2个方程式均是分式方程，可以尝试分母法或换元法，转化为整式方程求解。

先尝试分母法：

原方程组消除分母，得到：

\(
\begin{cases}
18x+18y=5xy & \text{(3)} \\
6x^2+6y^2=13xy & \text{(4)}
\end{cases}
\)

由(4)得：

\(
\begin{split}
6x^2-13xy+6y^2&=0 \\
(3x-2y)(2x-3y)&=0
\end{split}
\)

\(\therefore\) \(3x-2y=0\) 或 \(2x-3y=0\)

\(\therefore\) \(
\begin{cases}
18x+18y=5xy \\
3x-2y=0
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
18x+18y=5xy \\
2x-3y=0
\end{cases}
\)

\(\therefore\) \(
\begin{cases}
x=6 \\
y=9
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
x=9 \\
y=6
\end{cases}
\)

经检验知： \(
\begin{cases}
x_1=6 \\
y_1=9
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
x_2=9 \\
y_2=6
\end{cases}
\) 都是原方程组的解。

再尝试换元法：

观察此方程组，(2)的等号左侧两项互为倒数，这是可以试用换元法的基础。

设：\(\frac{x}{y}=k\)

代入(2)得：

\(
\begin{split}
\frac{y}{x}+\frac{x}{y}&=\frac{13}{6} \\
\frac{1}{k}+k&=\frac{13}{6} \\
6k^2-13k+6&=0 \\
(3k-2)(2k-3)&=0 \\
\end{split}
\)

\(\therefore\) \(3k-2=0\) 或 \(2k-3=0\)

即 \(k=\frac{2}{3}\) 或 \(k=\frac{3}{2}\)

亦即 \(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\) 或 \(\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\)

\(\therefore\) \(
\begin{cases}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18} \\
\frac{x}{y}=\frac{2}{3}
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{18} \\
\frac{x}{y}=\frac{3}{2}
\end{cases}
\)

\(\therefore\) \(
\begin{cases}
x=6 \\
y=9
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
x=9 \\
y=6
\end{cases}
\)

经检验知： \(
\begin{cases}
x_1=6 \\
y_1=9
\end{cases}
\) 或 \(
\begin{cases}
x_2=9 \\
y_2=6
\end{cases}
\) 都是原方程组的解。